Нахождение оптимальных планов производства продукции и их экономико-математический анализ.

 Глава I.

1.1  Условия задачи

В состав рациона кормления на стойловый период дойных коров входит 9 видов кормов. В таблице 1.3.1 приводятся необходимые данные о кормах. Для обеспечения намечаемой продуктивности стада необходимо, чтобы в рационе кормления содержалось не менее 15,3 кг кормовых единиц, 1758 г перевариваемого протеина, 118 г кальция, 45,8 г фосфора, 660,8 мг каротина и 18,8 кг сухого вещества. В качестве дополнительных условий даны следующие соотношения для отдельных групп кормов в рационе: концентратов (кукуруза, жмых и комбикорм) – 5-20%, грубых кормов (стебли кукурузы, сено люцерновое, сено суданки) – 15-35%, силоса – 35-60%, корнеплодов (свекла сахарная и кормовая) –10-20%. Определить рацион кормления животных по критерию минимальной себестоимости.

Таблица 1.3.1 Содержание питательных веществ в 1 кг корма и его себестоимость.

 

Глава 2.

Ход выполнения задания на ПЭВМ с использованием программы „Linear_Optimization”.

2.1 Краткое описание программы „Linear_Optimization”.

Программа „Linear_Optimization” предназначена для решения различных задач линейного программирования и анализа полученных результатов.

Данная программа позволяет пользователям работать с исходными данными, практически не изменяя их, что очень удобно для неопытных пользователей, на которых рассчитана данная программа. Программа позволяет получить хороший анализ результатов в удобной форме.

2.2 Ход выполнения задания на ПЭВМ с использованием программы „Linear_Optimization”.

            1. Напишем  экономико-математическую  модель  данной  производственной задачи. Обозначим через x_j (j=1,8) количество производи­мой продукции. Кроме того, т.к. объем ресурсов  для  оборудования дается в часах, а производительность оборудования  в  м¤/час,  то  необходимо  перейти к соизмеримости.

Таким образом, задача сводится к нахождению оптимального пла­на производства продукции каждого вида с целью  получения  макси­мальной прибыли.

ЗЛП будет выглядеть так:

Целевая функция:

min Z = 0.51x₁+0.57x₂+0.13x₃+0.33x₄+0.38x₅+0.72x₆+0.23x₇+0.22x₈+0.67x₉

при ограничениях:

1.34x₁+  1.9x₂+0.37x₃+0.49x₄+0.52x₅+  0.2x₆+0.26x₇+0.12x₈+  0.9x₉ >= 15.3

   78x₁+ 356x₂+   14x₃+ 116x₄+   65x₅+   19x₆+   12x₇+     9x₈+ 112x₉ >= 1758

  0.7x₁+  5.9x₂+  6.2x₃+17.7x₄+  5.7x₅+  1.5x₆+  0.5x₇+  0.4x₈+   15x₉ >= 118

  3.1x₁+  9.1x₂+       x₃+  2.2x₄+  2.3x₅+  0.5x₆+  0.4x₇+   13x₈                    >= 45.8

     4x₁+     2x₂+     5x₃+   45x₄+   15x₅+   15x₆                                                        >= 660.8

0.87x₁+0.87x₂+  0.8x₃+0.85x₄+0.85x₅+0.26x₆+0.24x₇+0.12x₈+0.87x₉   >= 18.8

       x₁+       x₂+                                                                               x₉ >= 5

       x₁+       x₂+                                                                                x₉ <= 20

                                x₃+       x₄+       x₅                                                                 >= 15

                                x₃+       x₄+       x₅                                                                <= 35

                                                                      x₆                                      >= 35

                                                                      x₆                                    <= 60

                                                                                   x₇+       x₈           >= 10

                                                                                   x₇+       x₈           <= 20

                                       X_j >= 0

 

Экономико-математическая модель состоит из целевой функции, системы ограничений и условия неотрицательности переменных xj.

 

2.      2.     Двойственной к данной задаче является следующая:

Целевая функция:

max F = 15.3y₁+1758y₂+118y₃+45.8y₄+660.8y₅+18.8y₆+5y₇-20y₈+15y₉-35y₁₀+35y₁₁-60y₁₂+10y₁₃-20y₁₄

 при ограничениях:

 1.34y₁+   78y₂+  0.7y₃+3.1y₄+  4y₅+0.87y₆+y₇-y₈                                                             <=0.51

  1.9y₁+  356y₂+ 5.9y₃+9.1y₄+  2y₅+0.87y₆+y₇-y₈                                                   <=0.57

0.37y₁+    14y₂  +6.2y₃+    y₄+  5y₅+   0.8y₆+          y₉-y₁₀                                  <=0.13

0.49y₁+ 116y₂+17.7y₃+2.2y₄+45y₅+0.85y₆+          y₉-y₁₀                                   <=0.33

0.52y₁+   65y₂+  5.7y₃+2.3y₄+15y₅+0.85y₆+          y₉-y₁₀                                    <=0.38

  0.2y₁+   19y₂+  1.5y₃+0.5y₄+15y₅+0.26y₆+                      y₁₁-y₁₂                   <=0.72

0.26y₁+  12y₂+   0.5y₃+0.4y₄+         0.24y₆+                                    y₁₃-y₁₄ <=0.23

0.12y₁+    9y₂+   0.4y₃+ 13y₄+         0.12y₆+                                    y₁₃-y₁₄ <=0.22

  0.9y₁+112y₂+    15y₃+                    0.87y₆+y₇-y₈                                       <=0.67

Данные задачи составляют пару двойственных задач. Решение прямой задачи дает оптимальный план минимизации расходов на рацион кормления, а решение двойственной задачи – оптимальную систему оценок питательной ценности используемых кормов.

3. Для решения прямой задачи воспользуемся программой «Linear_Optimization».

Программа установлена в каталоге «Linear_Optimization». Для её  запуска активизируем данный каталог и находим файл с именем Linear_Optimization.exe.

В соответствующие поля программы вводим необходимые данные и производим расчёт.

 

 "ООО Forward bizness"

Результаты оптимизации по состоянию на:  29.10.05 9:00:04

Минимум целевой функции "Минимальная стоимость кормов (руб.кг)" = 32,1779215824796

 ограничения                                                                 данные расчёта      знак   задан.знач-я          

Кормовые единицы кг                                                                         21,170108795166           >=         15,3                                

Перевариваемый протеин г                                                                1758                                >=         1758                               

Кальций г                                                                                              170,828521728516         >=         118                                 

Фосфор г                                                                                              185,623504638672         >=         45,8                                

Каротин г                                                                                              660,799987792969         >=         660,8                              

Сухое вещество мг                                                                              26,7036418914795         >=         18,8                                

концентратов (кукуруза жмых. комбикорм)                                      5                                      >=         5                                     

концентратов (кукуруза жмых. комбикорм)                                      5                                      <=         20                                   

грубые корма (стебли кукур, сено люцерн, сено суданки)              15                                    >=         15                                   

грубые корма (стебли кукур, сено люцерн, сено суданки)              15                                    <=         35                                   

силос                                                                                                     35                                    >=         35                                   

силос                                                                                                     35                                    <=         60                                   

корнеплодов (свекла сахарная и кормовая)                                     10                                    >=         10                                   

корнеплодов (свекла сахарная и кормовая)                                     10                                    <=         20                                   

переменные                                                                 данные расчёта     

Кукуруза                                                                                                3,94397739314731        

Жмых                                                                                                    1,0560226068527          

Стебли кукурузы                                                                                  13,9271988696573        

Сено люцерна                                                                                       1,07280113034265        

Сено суданки                                                                                        0                                     

Силос кукурузы                                                                                    35                                   

свекла сахарная                                                                                  0                                     

Свекла кормовая                                                                                 10                                   

Комбикорм                                                                                           0                                     

 

Выводы: ферма, используя данный рацион минимизирует его себестоимость, при этом питательная ценность рациона

находится в пределах норм.

 

4. Из полученного решения исходит, что минимальные затраты на составление рациона питания, содержащего все необходимые элементы составляют 32, 18 денежных единиц. То есть целевая функция:

min Z = 0.51*3,943977+0.57*1,056023+0.13*13,9272+0.33*1,072801+0.72*35+0.22*10=32,17792

Оптимальный рацион питания: 

Х = (3,943977; 1,056023; 13,927200; 1,072801; 0; 35; 0; 10; 0)

то есть в рацион войдет:

Кукурузы –3,943977 кг

Жмыха – 1,056023 кг

Стеблей кукурузы – 13,9272 кг

Сена люцерны – 1,072801 кг

Силоса кукурузы – 35 кг

Свеклы кормовой – 10 кг

 

Остальные корма (сено суданки, свекла сахарная и комбикорм) в рацион не вошли.

 

5. Оптимальным планом двойственной задачи является следующий: 

Y=(0; 0.000247; 0; 0; 0,004369; 0; 0,473236; 0; 0,104691; 0; 0,64976; 0; 0,217775; 0)

При этом целевая функция достигает своего максимального значения:

 

max F = 1758*0,000247+660.8*0,004369+5*0,473236+15*0,104691+35*0,64976+10*0,217775=32,17792

Таким образом мы получили решение прямой двойственной задач, значения целевых функций которых равны:

Z(X)=F(Y)=32,17792

6. Проанализируем каждое ограничение двойственной задачи, подставляя вместо Y значения двойственных оценок

78*0.000247  +4*0.004369+1*0.473236   =0.5099  <=0.51

356*0.000247+2*0.004369+1*0.473236   =0.5699  <=0.57

14*0.000247  +5*0.004369+1*0.104691   =0.12999<=0.13

116*0.000247+45*0.004369+1*0.104691 =0.3299  <=0.33

65*0.000247  +15*0.004369+1*0.104691 =0.18628<=0.38

19*0.000247  +15*0.004369+1*0.64976   =0.71998<=0.72

12*0.000247  +1*0.217775                        =0.2207  <=0.23

9*0.000247    +1*0.217775                        =0.21999<=0.22

112*0.000247+1*0.473236                        =0.5009  <=0.67

Из полученных данных видно, что все ресурсы используются оптимально, кроме сена суданки и комбикорма, которые вообще не вошли в рацион.

Выводы.

На основе проведенных вычислений можно сделать следующий вывод: полученное решение прямой задачи является оптимальным, то есть ферма, используя данный рацион минимизирует его себестоимость, при этом питательная ценность рациона находится в пределах норм.

© Прохневский С. А.